모비율의 추정

중심극한정리에 의해, 한 번 시행할 때 성공확률이 인 이항분포를 번 시행한 는 시행횟수가 충분히 크면, 평균이 

이고, 분산이 에 근사한다.

또, 모집단에서 추출된  개의 표본집단 가운데 개가 확률이 인 특성을 보인다고 하면, 표본비율  이다.

예를 들어, 100명으로 구성된 표본집단에서 흡연자 수를 조사했더니 이었다고 하면, 흡연율의 표본비율

이다.

 

에서 중심극한정리에 의해 이므로,

이다.

또, 

에서 중심극한정리에 의해 이므로,

이다.

따라서, 

가 성립한다.

위 식을 정리하면, 표본비율을 이용한 모비율의 신뢰구간은 다음과 같다.

그런데, 모비율을 추정하기 위해 모비율을 사용한다는 것은 모순된다. 위의 모비율은 표본비율로 수정하여 사용할 수 있다.

즉, 가 성립한다.

[예제1]

우리나라 국민 가운데 1200명을 뽑아 흡연자를 조사하였더니 126명이었다고 한다. 이 자료에 근거하여 우리나라 국민 전체의 흡연율의 97% 신뢰구간을 구하라.

이므로,

모비율의 97% 신뢰구간은

따라서, 신뢰구간을 구하면 약 [0.0858, 0.1242]이다.